Thesis supervisor: Gábor Pete
Location of studies (in Hungarian): BME TTK Sztochasztika Tanszék Abbreviation of location of studies: BME
Description of the research topic:
A modern valószínűségszámítás és statisztikus fizika által vizsgált fázisátmenetek alapmodelljei a síkrácsokon vett perkoláció és a mágnesesség Ising modellje, melyeknek a kritikus sűrűségen avagy hőmérsékleten való viselkedése a legérdekesebb. A háromszögrácson a kritikus csúcsperkoláció konforminvarianciáját Smirnov igazolta 2001-ben, ami a Schramm-Löwner Egyenlettel (2000) együtt a modell nagyon alapos megértését tette lehetővé. Az univerzalitás sejtés szerint az így kiszámolt kritikus exponensek függetlenek attól, hogy milyen síkrácson nézzük a kritikus perkolációt, még ha a kritikus sűrűség értéke függ is a rácstól. Alapvető feladat lenne tehát Smirnov bizonyításának kiterjesztése egyéb síkrácsokra:
Probléma 1. Egy homogén Poisson pontfolyamat Voronoi diagramja egy véletlen háromszögezett gráf, melyen a csúcsperkoláció kritikus sűrűsége majdnem biztosan ½ [Bollobás-Riordan 2006]. Bizonyítsuk a konforminvarianciát!
A konforminvariáns skálalimeszek univerzalitása sokkal jobban megértett a kritikus spin Ising modellben és annak Fortuin-Kasteleyn reprezentációjában, megint csak Smirnov és társszerzői munkája nyomán. A fázisátmenetek vizsgálatában azonban a kritikus rendszerek megértése nem az egyetlen cél; a közel-kritikus és dinamikus rendszerek új típusú kérdéseket is fölvetnek, új módszereket kívánva. A perkoláció, és kisebb részben az FK Ising modell esetében, ezeket a problémákat viszonylag jól megértettük az elmúlt pár évben, de sok izgalmas nyitott kérdés is maradt.
Probléma 2. A háromszögrács egy változatán az Inváziós Perkoláció és a Minimális Feszítőfa skálalimeszei léteznek és forgatásinvariánsak [Garban-Pete-Schramm 2013]. Igazoljuk, hogy nem konforminvariánsak!
Probléma 3. Ismert, hogy a dinamikus perkolációnak és a dinamikus FK Ising modellnek létezik skálalimesze [Garban-Pete-Schramm 2013, ill. Garban-Pete leírás alatt], azon az időskálán, ahol a makroszkópikus fürtstruktúra változik. A spin Ising modellre viszont ez egyáltalán nem ismert, még a megfelelő skálázás sem egészen világos.
Probléma 4. Dinamikus perkolációban a makroszkópikus fürtstruktúra sokkal gyorsabban változik [Garban-Pete-Schramm 2010], mint a teljes rendszer keverési ideje, amit egyszerűen a rendszer sűrűségének változása ad meg. A kritikus Ising modellben ismert, hogy a keverési idő a rendszerméretben polinomiális [Lubetzky-Sly 2012], de mi a kitevő pontos értéke és oka?
Required language skills: angol Further requirements: Az angol nyelv ismerete és alapos valószínűségszámítási felkészültség kötelező. Komplex analízis és sztochasztikus differenciálegyenletek ismerete előny.
Number of students who can be accepted: 1
Deadline for application: 2014-05-31
2024. IV. 17. ODT ülés Az ODT következő ülésére 2024. június 14-én, pénteken 10.00 órakor kerül sor a Semmelweis Egyetem Szenátusi termében (Bp. Üllői út 26. I. emelet).
Login
