Thesis supervisor: Gábor Pete
Location of studies (in Hungarian): BME TTK Sztochasztika tanszék Abbreviation of location of studies: BME
Description of the research topic:
Viszonylag fiatal terület a sztochasztikus folyamatok vizsgálata csoportokon és általános gráfokon, ahol az alaptér maga is messze nemtriviális, és esetleg éppen a folyamat viselkedése adhat új információt a tér geometriájáról. Itt Benjamini, Lyons, Peres és Schramm voltak az úttörők (1996-2001), ám több jelentős eredményt követően kissé megtorpant a fejlődés, mert a fő sejtések rendkívül nehéznek bizonyultak (pl. a p_c < p_u kettős fázisátmenet léte nemamenábilis tranzitív gráfokon). Új lendületet adott a gráflimeszek elmélete, melynek a hálózatok elmélete felől praktikus, a csoportelmélet, dinamikai rendszerek, kombinatorika felől elméleti mozgatórugói is vannak: sztochasztikus folyamatokat végtelen gráfokon gyakran véges közelítések alapján értünk meg, vagy fordítva, a limeszobjektum segíthet a véges problémákban. Itt van négy konkrét probléma ízelítőnek:
Probléma 1. Oded Schramm sejtése, hogy ha a G_n tranzitív végtelen gráfok lokálisan konvergálnak G-hez, és a kritikus perkolációs sűrűségekre sup p_c(G_n)<1 teljesül, akkor p_c(G_n) konvergál p_c(G)-hez. Igazoljuk ezt bizonyos speciális esetekre, pld síkgráfokra, vagy nilpotens (azaz polinomnövekedésű) csoportokra! Kommutatív csoportokra ismert (Grimmett-Marstrand 1992, Martineau-Tassion 2014).
Probléma 2. Karakterizálja-e a nem-amenábilis csoportokat, hogy létezik olyan Cayley-gráfjuk és olyan k egész szám, hogy a k-szomszédos bootstrap perkoláció folyamat kritikus sűrűsége 0 és 1 között van? Ez ismert a Z^2 csoportra egyfelől (Gravner-Griffeath 1996), és szabad csoportot tartalmazó nemamenábilis csoportokra másfelől (Balogh-Peres-Pete 2006).
Probléma 3. Egy gráfon a bolyongás Green-függvényéből egy új metrika származtatható: d(x,y) = -log G(x,y). Diszkrét metrikus terekre több dimenziófogalmat is használni szoktak; mit árul el a Green metrika dimenziója a bolyongás viselkedéséről, pld az ún. spektrális dimenzióról? Igazoljuk, hogy amenábilis csoportokon a Green-metrika gömbjei egy Folner-sorozatot alkotnak, sőt általában közel-optimális izoperimetriájúak!
Probléma 4. Damien Gaboriau sejtése, hogy tetszőleges Cayley gráfon a Free Uniform Spanning Foresthez hozzávehető tetszőlegesen kicsi epszilon sűrűségű invariáns folyamat, hogy összefüggő legyen a kapott véletlen gráf. Más szavakkal, egy csoport első ell-2-Betti száma mindig egyenlő a csoport költsége mínusz 1-gyel. Igazoljuk ezt legalább Kazhdan csoportokra, ahol a FUSF egyenlő a WUSF-fel, és így jól megérthető a struktúrája, hiszen Wilson algoritmusával lehet generálni, körtörölt bolyongásokkal.
Required language skills: angol Further requirements: Az angol nyelv ismerete és alapos valószínűségszámítási felkészültség kötelező. Valamekkora csoportelméleti és/vagy gráfelméleti képzettség is szükséges.
Number of students who can be accepted: 1
Deadline for application: 2014-05-31
2024. IV. 17. ODT ülés Az ODT következő ülésére 2024. június 14-én, pénteken 10.00 órakor kerül sor a Semmelweis Egyetem Szenátusi termében (Bp. Üllői út 26. I. emelet).
Login
